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Dia 18 de Outubro, com o Tony Oliveira, a Malba Tahan Newsletter atingiu 1400 assinantes em 15 países! Dia 7 de Outubro, a Malba Tahan Newsletter atingiu 1300 assinantes com a Maria José Teixeira. Dia 28 de Setembro, atingiu 1200 assinantes com o Rubens Birch. Dia 21 de Setembro atingiu 1100 com a Sheyla Costa Rodrigues. Recentemente, inscreveram-se o Daniant Gonzalez, da Venezuela; o Ramiro Rodriguez, da Bolívia; o Marco Flores, a Fely Rondan Zamata, o Edwin, o Norvil Colunche Benavides e o Hugo Calderon Cruchaga, do Peru; o Juan Pablo e a Carmen, da Colômbia; o Tony Oliveira, o Antonio Pierola, o Alberto Jaffe e a Fabíola, dos EUA; o Mimmo de Paola, da Itália; a Martha Lardone, da Argentina; o Boris Jara, do Chile. Que mais posso dizer senão bem vindos e muito obrigado a todos os que me apoiaram desde então? E agradeço, especialmente, ao Grupo de Desenvolvimento, com o qual conto para conseguir dar continuidade a este projeto. A meta agora é 2000 assinantes! No atual ritmo, deverá ser atingida em Dezembro próximo! Avise um amigo sobre a Malba Tahan Newsletter! Estou utilizando um sistema diferente para enviar esta Newsletter. Quando o número de inscritos passou de algumas dezenas para mais de um milhar, justificou-se utilizar um sistema profissional para que eu pudesse manter a qualidade do serviço. Estou utilizando o GetResponse, um excelente serviço que recomendo a quem tenha ou pense ter uma Newsletter. Este mês escolhi a sugestão da Vanda Ramos e do Daniel Buttow que é o Problema das Torres de Hanoi. Obrigado, Vanda. Obrigado, Daniel. Até Novembro! Renato P. dos Santos |
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| Neste
número
Torre de Hanói |
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Promoção
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| Torre de Hanói
A Vanda Ramos e o Daniel Buttow deram a mesma sugestão que é o Problema da Torre de Hanoi. É bem provável que conheça o jogo ou o problema da Torre de Hanoi. O jogo foi inventado pelo famoso matemático francês Edouard Lucas, muito conhecido pelo seu trabalho com a sequência de Fibonacci e pela sequência associada que recebeu seu nome e pelo teste de primalidade, aperfeiçoado depois por Lehmer. Este jogo foi incluído no terceiro volume da sua obra Récréations mathématiques, publicado em 1883. Segundo a curiosa história contada por Lucas, este jogo seria uma versão simplificada de uma mítica Torre de Brahma, supostamente existente num templo em Benares, Índia. Segundo a lenda, Brahma, quando criou o mundo, colocou três postes verticais de diamante e, numa delas, 64 anéis de ouro de tamanhos diferentes, empilhados em ordem de tamanho do menor para o maior. Aos monges do templo caberia, então, a tarefa de transferir essa pilha de discos para uma das duas outras postes, na mesma ordem original. Para isso, teriam de transferir um disco de cada vez e poderiam utilizar a outra poste como auxílio mas nunca poderiam uma anel maior sobre um menor. O jogo original continha apenas 5 discos. Experimente com o modelo abaixo. Free JavaScripts provided O caso com um único disco é trivial pois consiste numa única transferência. O caso mais simples seguinte é com 2 discos, chamemos de A e B. Segundo as regras, seguindo a melhor estratégia, movemos o disco A para um poste, o disco B para o outro poste e, finalmente, o disco A para cima de B. Esquematicamente, ABA, com 3 transferências. Para 3 discos, a estratégia seria ABA, seguida da transferência do terceiro disco, C, para o outro poste, o retorno de A para o poste inicial, a transferência de B para cima de C e, finalmente, de A para cima de B. Esquematicamente, ABACABA, com 7 transferências. É fácil de ver que para 4 discos, a estratégia seria ABACABA, seguida da transferência de D para o outro poste e a repetição do processo do segundo poste para cima de D, isto é, novamente ABACABA, resultando ABACABADABACABA, com 15 transferências. Para 5 discos, a estratégia seria naturalmente, ABACABADABACABAEABACABADABACABA, com 31 transferências. Note, porém, que
e que para qualquer número n, de discos, a estratégia será a estratégia para n-1 discos, seguida da transferência do n-ésimo disco e outra estratégia para n-1 discos, num total de 2x(2n-1-1)+1 = 2n-1 transferências. Desta forma, pelo princípio de indução finita, o número de transferências para o problema genérico com n discos é 2n-1. Recursão Vale a pena destacar o carácter recursivo do problema: para resolver o problema para n discos, utiliza-se a estratégia para n-1 discos e assim, sucessivamente, até o caso trivial n=1. Outros exemplos clássicos de recursão são
O primeiro contacto que tive com este tipo de problema recursivo, tinha eu 12 anos, foi com os chamados 'anéis chineses', mais correctamente, 'Anéis de Cardan', mencionados em sua obra De Subtililate, de 1550. Tirar o primeiro anel era trivial; uma vez tirado o primeiro, o segundo saía facilmente; muito espantado descobri que somente conseguia tirar o terceiro colocando o primeiro de volta! Mas só fui aprender o conceito de recursão na faculdade, no curso de computação, e, então, elaborei um pequeno programa em Pascal para cálculo recursivo de determinantes, pelo método dos cofactores - neste método, o determinante é calculado através de determinantes de matrizes com dimensão menor que a original. A recursão ocorre também no domínio visual. O exemplo mais caseiro que conheço é a ilustração da embalagem do fermento em pó Royal, que contém a própria lata, ilustrada com outra lata, etc. Outro exemplo clássico são os fractais. Mas também há imensos exemplos nas artes, na arquitetura, na natureza. Veja alguns. Lembre-se, também, do trabalho de Escher, especialmente o 'Drawing Hands'. O fim do mundo Voltando à Torre de Brahma, segundo a lenda, quando todos os 64 discos forem transferidos, o templo será destruído e o mundo se acabará. A lenda é verdadeira? Não se sabe, até porque, mesmo que os monges trabalhassem dia e noite sem descanso, ao ritmo frenético de um disco transferido por segundo, não teriam tido tempo ainda de concluir a tarefa! De facto, pode-se provar que levariam 18 446 744 073 709 551 615 segundos, ou quase 600 000 milhões de anos, enquanto a Terra existe há apenas cerca de 2 000 milhões de anos! Após esses milhões todos de anos, com certeza que o templo estará destruído. Por outro lado, em 1953, o mestre de ficção científica Arthur C. Clarke publicou no número um da revista Star Science Fiction Stories, o famoso conto The Nine Billion Names of God, ou, em português, Os Nove Trilhões de Nomes de Deus, incluído na coletânea O Outro Lado do Céu. Neste conto, os monges de um monastério tibetano adquirem um computador para ajudá-los em seu projecto de descobrir todos os cerca de nove trilhões de nomes de Deus, dentre todas as possíveis combinações de nove caracteres de seu alfabeto. Esse trabalho, feito à mão, já durava três séculos e levaria ainda quinze mil anos para ser completado, enquanto o computador permitiria terminá-lo em apenas cem dias. Segundo a crença de sua ordem, quando todos os nomes de Deus tiverem sido descobertos, o propósito da raça humana terá sido atingido e o mundo acabará. Embora os engenheiros encarregados da instalação do computador não acreditem numa única palavra dessa crença, descobrem, a bordo do avião, já no caminho de volta, que no momento em que o computador está terminando seu trabalho, as estrelas do céu começam a apagar-se... Bibliografia
Mais uma vez, obrigado, Vanda. Obrigado, Daniel. Até Novembro! Renato P. dos Santos |
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