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Julho de 2002

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Como talvez saiba, aqui em Portugal, o Imposto sobre o Valor Acrescentado (IVA) foi aumentado de 17% para 19%, o que levou alguns comerciantes, por desconhecimento ou não, a práticas menos correctas no cálculo dos novos preços.

Por isso, decidi, neste número, aproveitar outra sugestão de Alberto Pereira e falar sobre cálculos com percentagens.

Aos vários outros assinantes que mandaram sugestões, agradeço e tranquilizo dizendo que serão aproveitadas nas próximas edições da Malba Tahan Newsletter.

Mais uma vez, obrigado, Alberto.

Até Agosto!

Artigo - Percentagens
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O Alberto Pereira deu-me a sugestão de tratar percentagens, especialmente cálculos de descontos e acréscimos. Como aqui em Portugal, o Imposto sobre o Valor Acrescentado (IVA) foi aumentado em Junho passado de 17% para 19% e decidi que era boa ocasião para seguir essa sugestão.

Segundo D.E. Smith em Rara arithmetica, 1898, (citado em Earliest Uses of Symbols for Fractions,  http://members.aol.com/jeff570/fractions.html, acedido em 02/07/21), %, o símbolo de percentagem teria evoluído a partir de um símbolo que aparece num manuscrito anónimo italiano de 1425.

Penso que a maneira mais simples de se perceber a percentagem é lembrar que 'por cento' significa 'em cada cem'. Assim, dez por cento significa a proporção dez em cada cem. 

Por exemplo, imagine que dez por cento da população do mundo são loiros, quer dizer que dez em cada cem pessoas são loiros. Dito de outra, forma, 10% de alguma coisa é dez centésimos dessa coisa e 5% é cinco centésimos dessa coisa.

Isto significa que 'por cento' é equivalente a 'centésimos'. Com isto, a conversão de percentagens em números decimais é muito fácil: basta dividir por cem, ou seja, mover o ponto decimal duas casas para a esquerda. Assim, 10% torna-se 0,10 e 5% torna-se 0,05. Reciprocamente, para converter números decimais em percentagens, basta multiplicar por cem ou mover o ponto decimal duas casas para a direita. Assim, 0,25, vinte e cinco centésimos, é o mesmo que vinte e cinco porcento, 25%.

Da mesma forma, a razão que pode ser representada por uma fracção de denominador 100. Assim, dez por cento, 10%, é a razão 10:100, equivalente à fracção 10/100, enquanto 5% equivale à fracção 5/100. Note-se que as fracções podem frequentemente ser simplificadas: 10% = 10/100 = 1/10 e 5% = 5/100 = 1/20.

Para se aplicar uma percentagem a uma quantidade qualquer, basta multiplicar a fracção ou o número decimal por aquela quantidade. Por exemplo, 3% de 1000 pode-se calcular como (3/100)x1000=3x10=30 e 12% de 500 como 0,12x500=60.

Para fazer cálculos rápidos é útil lembrar alguns valores básicos:

Exemplos:

Pelo último exemplo, vê-se que o aumento da taxa do IVA de 17% para 19, se por um lado dificultou o orçamento dos consumidores, por outro, facilitou as estimativas pois 19% é muito melhor aproximado por 20% do que 17% e basta dividir o valor por 5 para ter uma estimativa do imposto.

Aumentos e descontos

No entanto, há ainda um ponto muito importante no que se refere a porcentagens que são os aumentos e descontos.

Digamos que um valor de 1000 é aumentado de 15%. O aumento será de 0,15x1000=150 e o valor final, 1000+150=1150.

Note que 1150=1,15x1000. Não por acaso, a parte decimal de 1,15 é 0,15, a representação decimal de 15%. Sucede que, como se trata de um aumento, ao valor inicial (100%) acresce-se o valor do aumento (15%). 

Desta forma, uma forma prática de calcular o valor final de uma quantidade aumentada de uma certa percentagem x é fazer o cálculo já acrescentado o 100%, ou seja, com 1,00+x. Assim, se se aumenta 2500 em 12%, o resultado final é 1,12x2500=2800. Particularmente, acho este procedimento tão simples que nunca uso a tecla % nas calculadoras, preferindo fazer a multiplicação correspondente.

Ao contrário, digamos, agora que o valor 1000 é reduzido de 15%. A redução será de 0,15x1000=150 e o valor final, 1000-150=850.

Note agora que 850=0,85x1000 e que 0,85=1,00-0,15. Assim, analogamente, uma forma prática de calcular o valor final após uma certa redução x é fazer o cálculo de 100% menos a percentagem x de redução, ou seja com 1,00-x. Assim, se se reduz 2500 em 12%, o resultado final calcula-se com 1-0,12, isto é, 0,88x2500=2200.

Imagine agora que tem seu ordenado reduzido de 20% e, de seguida, aumentado de 20%. Acredita que tudo ficou na mesma? Basta fazer as contas: para a redução de um ordenado de, digamos, 2000, temos 1,00-0,20=0,80 e 0,80x2000=1600; para o aumento de 20% sobre esse valor, temos 1,00+0,20 = 1,20 e 1,20x1600=1920, que é 80 menor que o valor inicial, correspondendo a uma redução global de 80/2000=4/100=4%. Sucede que a redução foi aplicada sobre 2000 e o aumento sobre 1600.

Por outro lado, para se calcular quanto de imposto está incluído num certo preço, por exemplo, os antigos 17% de IVA, não resulta correcto calcular 17% sobre o preço final do produto. Deve-se antes calcular 17% sobre o preço do produto antes do imposto. 

Mas como se descobre o preço antes do imposto se só se tem o preço final, já com o imposto? Raciocinemos, utilizando a técnica anteriormente vista: para se calcular o preço final com o imposto de 17%, multiplicou-se o preço sem imposto por 1,17; desta forma, pode-se obter o preço sem imposto dividindo o preço final pelos 1,17. Por exemplo, um produto com preço de custo 100 ficará com um preço final de 1,17x100=117; de facto, se dividirmos o preço final 117 pelos 1,17 recuperaremos o preço de custo 100 e o imposto acrescentado será de 17. Note que o valor do imposto, 17 representa apenas 17/117=0,145..., isto é, apenas cerca de 14,5% do preço final e não 17%, como à partida se poderia pensar.

Assim é que, quando a taxa do IVA foi aumentada de 17% para 19%, alguns comerciantes simplesmente aumentaram o preço final dos produtos em 2%, a diferença entre as taxas.

Mas esse procedimento não leva aos valores correctos. 

Senão vejamos: um produto que custava 117 com IVA de 17% teria, como já vimos, um preço de custo de 100 que, com a nova taxa de IVA de 19%, resulta num novo preço final de 1,19x100=119. 

Ora, ao aplicar mais 2% sobre o antigo preço final de 117, resulta 1,02x117=119,34, uma diferença de 0,34 sobre o valor correcto de 119. Na verdade, o que está ocorrer é que os 2% de aumento estão a ser aplicados não só sobre o preço de custo (100%) mas também sobre o próprio imposto (17%): 1,02x(1,17x100)=100 (preço de custo) +0,17x100 (valor do imposto à taxa anterior) + 0,02x100 (acréscimo do valor do imposto devido à nova taxa) + 0,02x0,17x100 (aumento de 2% sobre o valor do imposto de 17%).  

Na verdade, o conhecimento imperfeito do público em geral sobre as percentagens é maliciosamente utilizado pelos meios de comunicação de massa, especialmente na publicidade. Paulos ironiza com o seguinte exemplo:

"A nova pasta dentífrica que reduz as cavidades em duzentos porcento é, presumivelmente, capaz de nos livrar de todas as cavidades duas vezes, quem sabe se enchendo-as à primeira e à segunda colocando pequenos altos no sítio onde tínhamos os dentes." (PAULOS, John Allen, Inumerismo: O Analfabetismo em Matemática e Suas Consequencias, Europa-América, Lisboa, DL 1991, p. 168)

Mais uma vez, obrigado, Alberto, pela sugestão. 

Até Agosto!

Renato P. dos Santos
matematica@reniza.com

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