Malba Tahan Newsletter

nº6 - Uma sequência para 2001

Abril de 2001

Este mês, o site da Matemática Divertida foi incluído no guia Portugal 20 Valores:
"Parece-nos mentira o título deste site... (que a matemática possa ser um divertimento). Contudo, Renato Santos, professor no Instituto Piaget, demonstra-nos (por A mais B) que esta coisa dos números, encarada como um desafio à nossa inteligência, é estimulante e gratificante. Daí esta tentativa de mudar o curso das coisas."

Também foi distinguido com a inclusão na secção Educação-Matemática do Links & Sites:
"Seu Site é ótimo! Parabéns ao webmaster pelo excelente trabalho!"

Os correspondentes selos já estão visíveis na página principal.

Um visitante do site da Matemática Divertida propôs-me, há pouco tempo, o seguinte problema:

"Uma série para 2001

2001, 5, 25 ,29, ...

Nesta série de números que começa em 2001, cada termo é igual à soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior:

1º termo: 2001

2º termo: 2² + 0² + 0² + 1² = 5

3º termo: 5² = 25

4º termo: 2² + 5² = 29

Pergunta: Qual é o 2001ª termo da série?

Como é obvio o problema não pretende que resolvamos termo por termo mas sim que achemos uma formula que nos diga todos os termos e ai está o meu problema!"

Depois de pensar um bocado nele, sem sucesso, decidi tentar a "força bruta" para tentar obter alguma inspiração: programei o Excel para gerar os primeiros termos da sequência.

E eis o que obtive:

Curiosamente, a partir do 5º termo, a sequência começa a repetir-se ciclicamente de oito em oito termos e é fácil mostrar que será assim indefinidamente.

Portanto, para calcular o 2001º termo, basta descobrir, dentro das repetições, a qual dos oito valores possíveis corresponde: 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145 ou 42. Todos os 8º, 16º, 24º, 32º, etc. termos têm valor 20; os 9º, 17º, 25º, 33º, etc., valor 4; etc. Para isso, calculei o resto da divisão de 2001 por 8 para achar a posição do 2001º termo no período de oito valores: 2001= 250 * 8 + 1. Ou seja, o 2001º termo terá o valor 4, assim como o 2000º terá o valor 20; o 2002º , 16; o 2003º, 37; o 2004º, 58; o 2005º, 89, o 2006º, 145 e o 2007º, 42.

É verdade, não cheguei a uma "fórmula que nos diga todos os termos", como queria o visitante, mas consegui o algoritmo acima que permite gerá-los.

Ora bem. Foi então que tive a ideia de tentar outros números de partida: 2000, 2002, etc., e qual não foi minha surpresa ao constatar que muitos deles levavam à mesma sequência periódica:

mas

mas

Segundo a simulação que fiz, 85% dos inteiros até 2000 convergem, todos eles, para o mesmo ciclo 20 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> .... Veja uma tabela para os 200 primeiros inteiros.

Pesquisando na Net, aprendi que números como o 7 e o 2003 acima, que, após algumas destas iterações, dão em 1 são, curiosamente, chamados 'números felizes' (happy numbers). Os que nunca dão 1, são chamados 'números infelizes' (unhappy ou sad numbers).

Por outro lado, números que podem ser obtidos da manipulação matemática de seus dígitos são chamados de narcisísticos. Desta forma, todos os números que pertencem a um ciclo como este são narcisísticos.

Aprendi também, que já foi provado pelo matemático polaco Hugo Steinhaus, que o procedimento acima efectivamente leva todos os números inteiros positivos
ao ciclo 20 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> ...
ou a 1.
(PETERSON, Ivars, "Digits, Squares, and Cycles", Ivars Peterson's MathTrek, 1998, http://www.maa.org/mathland/mathtrek_2_2_98.html, acessado em 1 de Maio de 2001)

Agora, experimentemos à ordem 3. Tome-se, por exemplo, o número 27. Resulta 2^3 + 7^3 = 8 + 343 = 351 -> 153 -> 153 .... Tome-se outro exemplo, o número 52: 5^3 + 2^3 = 125 + 8 = 133 -> 55 -> 250 -> 133 ....

Este procedimento, em geral, leva a um de 4 ciclos:
136 -> 244 -> 136...
919 -> 1459 -> 919 ...
55 -> 250 -> 133 -> 55 ...
160 -> 217 -> 352 -> 160 ...
ou para um dos valores
1 -> 1 -> 1 ...
153 -> 153 -> 153 ...
370 -> 370 -> 370 ...
371 -> 371 -> 371 ...
407 -> 407 -> 407 ...

Eugene D. Nichols, matemático aposentado da Florida State University, que encontrou a prova de Steinhaus num seu livro de problemas de 1958, teria sido dos primeiros a investigar ciclos derivados de potências maiores. Ordens superiores apresentam mais e maiores ciclos; já foram estudadas ordens até 15 mas a investigação ainda não está completa. Não há prova de que todos as ordens apresentem ciclos nem de que todos os números inteiros tendam para um ciclo. Harvey D. Heinz mantém um interessante site dedicado aos padrões numéricos que inclui uma página sobre os números narcisísticos onde tabela os ciclos para as ordens 2 a 15 em http://www.geocities.com/~harveyh/narciss.htm.

Explorando um pouco com o Excel, calculei a primeira transformação de ordem 2 para os primeiros 300 inteiros e construí o gráfico, obtendo uma interessante curva periódica. Estendi o cálculo para 3 000 números e o gráfico apresenta uma periodicidade de ordem superior, semelhante á anterior. Fui até 30 000 e, de novo, o gráfico é semelhante aos anteriores, com uma periodicidade ainda mais complexa. Parece-me que temos aqui um fractal!

Estou agora a construir um gráfico no espaço de fase para estudar este fenómeno de forma análoga ao que se faz nos fenómenos caóticos.

Jerry Glynn da MathWare em Urbana, IL, e Theodore Gray da Wolfram Research, empresa que desenvolveu o pacote de cálculo Mathematica, devotaram todo um capítulo do seu livro "The Beginner's Guide to Mathematica Version 3" (Cambridge University Press, 1997, New York) a este problema, com sugestões de procedimentos para o cálculo das sequências e identificação dos padrões de repetição.

Se souber mais algo sobre este assunto, por favor, escreva-me para matemati@reniza.com.

E muito obrigado pelo problema, visitante anónimo!

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Renato Santos
matemati@reniza.com

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Este site é mantido por Renato P. dos Santos

Esta página foi atualizada terça-feira, 05 de novembro de 2002