Malba Tahan Newsletter
nº4 - Cálculos com calendários
Fevereiro de 2001
O Marcelo escreveu-me este mês:
Na vizinhança onde eu moro tem um professor gênio, esse senhor sabe calcular a data de nascimento + o dia da semana em que vc nasceu e daqui à uns 2002, 2003 ele sabe me dizer em que dia da semana vai cair , por exemplo num domingo , numa quinta ....a data do meu nascimento é 04/04/1979 e o dia da semana eu esqueci. Ele faz uma conta em que ele subtrai o minuendo e mais alguns cálculos e faz rápido. Eu ,Marcelo, queria que o senhor caso saiba fazer esse cálculo me ensinasse.
A necessidade de saber o dia da semana a que corresponde uma data qualquer futura ou passada levou à construção de tabelas chamadas de ‘calendário permanente’, frequentemente incluídas em agendas.
Uma fórmula para o cálculo do dia da semana é
y = d + INT[(13 m - 1) / 5] + a + INT[a / 4] + INT[c / 4] - 2 c
sendo que:
S = y - 7 INT[y / 7]
onde:
d - dia do mês;
INT - parte inteira do número real (por exemplo: INT [7,86] = 7);
m - mês, sendo que Março corresponde a 1, Abril a 2, etc.;
a - os dois últimos algarismos do ano (por exemplo, em 1796, a=96);
c - os dois primeiros algarismos do ano (por exemplo, em 1826, c=18);
S - dia de semana pretendido, sendo que Domingo corresponde a 0, Segunda-feira a 1, etc.)
No entanto, há pessoas com a capacidade de determinar mentalmente, e com extraordinária rapidez, vários tipos de informações tais como o dia da semana de uma data futura, quando se dará a Páscoa num ano futuro, para quais meses num dado ano o dia primeiro recai numa sexta-feira, etc. E, estranhamente, tal capacidade tem sido mais frequentemente observada em doentes psiquiátricos crónicos que em indivíduos sem doença psíquica. Infelizmente, em geral é impossível obter dos doentes a explicação dos seus métodos. (vide DUARTE, Joaquim, A Aptidão para o Cálculo de Calendários em Doentes Psiquiátricos Crónicos, Psiquê, http://www.terravista.pt/Enseada/1518/dat.htm, acedido em 01/01/22). Por outro lado, muitos mágicos profissionais e amadores costumam exibir essa habilidade, desenvolvida por muito exercício.
Em geral, estes "calculadores mentais" exploram a estrutura e certas curiosas regularidades do calendário, por exemplo, a de que o dia quatro de Abril e cinco de Setembro correspondem sempre ao mesmo dia de semana, ou a de que existem 14 padrões de calendários anuais e que a sua sequência se repete de 28 em 28 anos. No entanto, a par dessas regularidades, a estrutura do calendário é complexa devido ao facto de que os ciclos de rotação da Terra, rotação da Lua em torno da Terra e translação da Terra em torno do Sol que lhe servem de base terem durações que não são múltiplas umas das outras. Isso introduz, por exemplo, os anos bissextos e a correcção introduzida pelo calendário Gregoriano (os anos terminados em 00 só são bissextos se divisíveis por 400).
Um algoritmo mais prático para o cálculo mental é o chamado Algoritmo de Doomsday, desenvolvido pelo eminente matemático John Horton Conway, mais conhecido talvez como o inventor do jogo da vida.
Para começar o algoritmo de Doomsday para qualquer ano, você necessita primeiramente saber o Doomsday para esse ano. Conway chama de Doomsday ao último dia de Fevereiro, ou seja 28 ou 29, consoante se é ano normal ou bissexto. Por exemplo, em 2001, o último dia de Fevereiro é quarta-feira 28 e, assim, o Doomsday de 2001 é quarta-feira. Não sei se Conway acredita que o Dia do Juízo (Doomsday) vai dar-se nalgum Fevereiro futuro e, já agora, espero que não neste.
Uma vez sabido o Doomsday, é fácil calcular o dia da semana para qualquer dia de Fevereiro. É feito por adição ou subtracção, geralmente por múltiplos de 7, e você deve ser capaz de fazer isto em sua cabeça -- ou não conseguirá executar o resto do algoritmo! Felizmente, a maioria das pessoas, com a prática, consegue calcular mentalmente um mês se tiverem algo em que se basear, tal como o Doomsday.
Exemplo : que dia da semana será o Dia de S.
Valentino deste ano, 14 de Fevereiro?
Resposta : o Doomsday 2001 é quarta-feira 28 de Fevereiro. Assim uma
semana mais cedo, o 21 é também uma quarta-feira. Uma outra semana mais cedo
é quarta-feira 14, o próprio Dia de S. Valentino. Assim, o Dia de S. Valentino
de 2001 será uma quarta-feira. Incidentalmente, o Dia de S. Valentino
será sempre Doomsday em anos não bissextos.
Meses Uniformes
Passemos agora para os outros meses do ano, começando com os meses uniformes. Estes são os demais meses pares 4º, o 6º, o 8º, o 10º, e o 12º, isto é Abril, Junho, Agosto, Outubro, e Dezembro.
Os meses uniformes são aqueles em que o n-ésimo dia do mês é um Doomsday (isto é o mesmo dia da semana que o último dia em Fevereiro). Esta é uma coincidência curiosa e, assim, é fácil recordar que:
 | 4 de Abril é um Doomsday |
| 6 de Junho é um Doomsday |
| 8 de Agosto é um Doomsday |
| 10 de Outubro é um Doomsday |
| 12 de Dezembro é um Doomsday |
Fácil, não? Agora você já pode fazer o mesmo cálculo para qualquer mês uniforme baseado em seu Doomsday.
Exemplo : que dia semana cai o Natal deste ano,
25 de Dezembro de 2001?
Resposta : o Doomsday 2001 é uma quarta-feira. O 12 de Dezembro (12º
mês, par, uniforme) é uma quarta-feira e, assim, duas semanas mais tarde, 26
de Dezembro é uma quarta-feira. Desta forma, o Natal de 2001 é um dia antes,
isto é, terça-feira 25 de Dezembro. Fácil! De facto, depois que você
executar o algoritmo de Doomsday várias vezes, você começa a gravar coisas
como o Natal é sempre um dia antes do Doomsday .
Exemplo: que dia semana cai o Dia das Mentiras
deste ano, 1º de Abril de 2001?
Resposta : o Doomsday 2001 é uma quarta-feira. O 4 de Abril (4º mês,
par, uniforme) é uma quarta-feira e, assim, 8 de Abril, uma semana depois da
data será domingo e, assim, o 1º de Abril de 2001 será um Domingo.
Exemplo : que dia semana cai o Halloween deste
ano, 31 de Outubro de 2001?
Resposta : o Doomsday 2001 é uma quarta-feira. O 10 de Outubro (10º
mês, par, uniforme) é uma quarta-feira. Três semanas mais tarde é 31 de
Outubro e, assim, o Halloween de 2001 será quarta-feira. Pode querer gravar
que o Halloween é sempre Doomsday.
Meses Impares
Agora os meses impares -- o 1º, 3º, 5º, 7º, 9º, e 11º, isto é, Janeiro, Março, Maio, Julho, Setembro e Novembro. Deixe Janeiro e Março de lado por um momento.
Considere a seguinte frase mnemónica: “Eu trabalho de 9 às 5 no 7-11”. Para quem não sabe, Seven-to-eleven é o nome de uma enorme cadeia de lojas nos EUA.
A interpretação é:
|
para o 9º mês, Doomsday é o 5º dia do mês |
| para o 5º mês, Doomsday é o 9º dia do mês |
| para o 7º mês, Doomsday é o 11º dia do mês |
| para o 11º mês, Doomsday é o 7º dia do mês |
Isto dá-lhe os Doomsday para Maio, Julho, Setembro e Novembro. Agora trabalhe da mesma maneira esses meses com o Doomsday como base.
Exemplo : que dia da semana é 1º de Maio de
2001?
Resposta : o Doomsday 2001 é uma quarta-feira. O 9º de Maio (5º
mês, ímpar) é uma quarta-feira. Uma semana antes de 9 é 2 de Maio,
quarta-feira. Assim, 1º de Maio de 2001 é terça-feira.
Exemplo : que dia da semana é o dia de Todos
os Santos, 1º de Novembro de 2001?
Resposta : o Doomsday 2001 é uma quarta-feira. O 7º dia de Novembro
(11º mês, ímpar) é uma quarta-feira. Uma semana antes seria 0 de Novembro
ou 31 de Outubro, quarta-feira. Assim, o dia de Todos os Santos de 2001 é uma
quinta-feira. Aliás, o dia de Todos os Santos é o dia seguinte ao Halloween,
o qual talvez já tenha memorizado que é sempre Doomsday.
Agora Março.
O Doomsday, o último dia de Fevereiro, poderia também ser chamado 0º de Março. Verifique que, de facto, 7 de Março, é exactamente uma semana após o último dia de fevereiro (seja 28 ou 29). Assim, 0 ou 7 de Março é sempre Doomsday.
Exemplo : que dia da semana é o dia dos meus
anos este ano, 22 de Março de 2001?
Resposta : o Doomsday 2001 é uma quarta-feira. 7 de Março é uma
quarta-feira. 21 de Março é uma quarta-feira. Meu dia de anos, 22 de Março
de 2001, é uma quinta-feira.
Finalmente, podemos trabalhar Janeiro.
A base para Janeiro é 31 de Janeiro, que “geralmente” é um Doomsday pois
está “geralmente” quatro semanas antes do último dia de Fevereiro.
Assim, se o Doomsday for uma sexta-feira, por exemplo, 31 de Janeiro também
será uma sexta-feira.
A razão para o “geralmente” é porque em anos bissextos, quando o Doomsday é 29 de Fevereiro, você terá de usar “32 de Janeiro”. Isto dá conta do dia bissexto extra para fazer Janeiro funcionar.
Exemplo : que dia da semana caiu o Ano Novo
(1º de Janeiro) de 2000?
Resposta : o Doomsday 2000 era uma terça-feira e 2000 foi um ano
bissexto (2000 é divisível por 400) e, assim, “32 de Janeiro” é uma
terça-feira. Subtraia 28 dias: 4 de Janeiro foi uma terça-feira. Três dias
antes, 1º de Janeiro é um sábado.
Calendário 2000
Se você praticou as regras mas tem problema em recordá-las, pode ser útil
observar o calendário para 2000 abaixo com todo os Doomsdays em
destaque.
Calendário de Doomsday para 2000
1.Jan(32) 2.Fev(28) D S T Q Q S S D S T Q Q S S 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 15 13 14 15 16 17 18 19 16 17 18 19 20 21 22 20 21 22 23 24 25 26 23 24 25 26 27 28 29 27 28 29 30 31(32) 3.Mar(7) 4.Abr(4) D S T Q Q S S D S T Q Q S S 1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 19 20 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 21 22 26 27 28 29 30 31 23 24 25 26 27 28 29 30 5.Mai(9) 6.Jun(6) D S T Q Q S S D S T Q Q S S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 7 8 9 10 11 12 13 4 5 6 7 8 9 10 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 21 22 23 24 25 26 27 18 19 20 21 22 23 24 28 29 30 31 25 26 27 28 29 30 7.Jul(11) 8.Ago(8) D S T Q Q S S D S T Q Q S S 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 15 13 14 15 16 17 18 19 16 17 18 19 20 21 22 20 21 22 23 24 25 26 23 24 25 26 27 28 29 27 28 29 30 31 30 31 9.Set(5) 10.Out(10) D S T Q Q S S D S T Q Q S S 1 2 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 9 8 9 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 15 16 15 16 17 18 19 20 21 17 18 19 20 21 22 23 22 23 24 25 26 27 28 24 25 26 27 28 29 30 29 30 31 11.Nov(7) 12.Dez(12) D S T Q Q S S D S T Q Q S S 1 2 3 4 1 2 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 17 18 10 11 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 24 25 17 18 19 20 21 22 23 26 27 28 29 30 24 25 26 27 28 29 30 31 |
copied with permission
Os anos 1900’s
Você já sabe trabalhar com o ano 2000. E outros anos? Basta observar que o Doomsday avança um dia a cada ano porque 365 divide por 7 com resto 1. Por outro lado, o Doomsday avança dois dias cada ano bissexto.
Exemplo: que dia da semana era a véspera de
Ano Novo, 31 de Dezembro de 1999?
Resposta: o Doomsday em 1999 era domingo (dois dias antes que em 2000
porque 2000 é bissexto). O 12 de Dezembro (12º mês, par, uniforme) é
domingo. Então, 26 de Dezembro é domingo. Cinco dias adiante, 31 de dezembro
de 1999, é sexta-feira. Ou, caso já tenha memorizado, o Natal é sempre um
dia antes do Doomsday e, portanto, uma semana depois, o Ano Novo é sábado e
a véspera, sexta-feira.
Para utilizar o algoritmo de Doomsday para qualquer ano dos 1900's, você tem que memorizar o facto de que o Doomsday para 1900 é uma quarta-feira. E como você recorda-se de que 1900=Wednesday? O Dr. Conway sugere o mnemónico "We-in-dis-day” indicativo do facto que a maioria de nós (we) nascemos nestes dias (this ou dis day) dos 1900's e que o Doomsday é quarta-feira (wednesday). Esta é a base para qualquer ano dos 1900's. (Observe também que 1900 não é um ano bissexto, de forma que em 1900 Doomsday é 28 de fevereiro). A partir daí, você faz um cálculo baseado no número dos anos 1900’s.
Agora, a cada doze anos, Doomsday avança de um dia, uma vez que 12 anos = 12 dias + 3 (12/4 de anos bissextos) = 15, 7’s fora 1. Verifique da seguinte tabela de Doomsdays que, a partir de qualquer ano, doze anos depois está duas linhas abaixo e uma coluna à direita.
|
Dom |
Seg |
Ter |
Qua |
Qui |
Sex |
Sab |
|
|
1900 |
1901 |
1902 |
1903 |
||
|
---- |
1904 |
1905 |
1906 |
1907 |
---- |
1908 |
|
1909 |
1910 |
1911 |
---- |
1912 |
1913 |
1914 |
|
1915 |
---- |
1916 |
1917 |
1918 |
1919 |
---- |
|
1920 |
1921 |
1922 |
1923 |
---- |
1924 |
1925 |
|
1926 |
1927 |
---- |
1928 |
1929 |
1930 |
1931 |
|
---- |
1932 |
1933 |
1934 |
1935 |
---- |
1936 |
|
1937 |
1938 |
1939 |
---- |
1940 |
1941 |
1942 |
|
1943 |
---- |
1944 |
1945 |
1946 |
1947 |
---- |
|
1948 |
1994 |
1950 |
1951 |
---- |
1952 |
1953 |
|
1954 |
1955 |
---- |
1956 |
1957 |
1958 |
1959 |
|
---- |
1960 |
1961 |
1962 |
1963 |
---- |
1964 |
|
1965 |
1966 |
1967 |
---- |
1968 |
1969 |
1970 |
|
1971 |
---- |
1972 |
1973 |
1974 |
1975 |
---- |
|
1976 |
1977 |
1978 |
1979 |
---- |
1980 |
1981 |
|
1982 |
1983 |
---- |
1984 |
1985 |
1986 |
1987 |
|
---- |
1988 |
1989 |
1990 |
1991 |
---- |
1992 |
|
1993 |
1994 |
1995 |
---- |
1996 |
1997 |
1998 |
|
1999 |
---- |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
---- |
|
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
---- |
2008 |
Isto conduz à seguinte regra. Tome os dois últimos dígitos do ano, divida por 12 e guarde o quociente e o resto, divida o resto por quatro e tome o quociente, some os dois quocientes e o primeiro resto jogando 7’s fora. Adicione agora o resultado a 1900=quarta-feira para encontrar o Doomsday desse ano.
Exemplo: qual é Doomsday para 1999?
Resposta: 99 divididos por 12 dá 8 resto 3; 3 divididos por 4 dá 0.
Adicionados estes números, temos 11, 7’s fora 4. Isto, adicionado a
1900=quarta-feira, resulta que Doomsday para 1999 é domingo, o que nós já
sabíamos, mas que confirma que a regra funciona.
Exemplo: qual é o Doomsday para 1929?
Resposta: 29 divididos por 12 dá 2 resto 5; 5 divididos por 4 dá 1.
Adicionados estes números, temos 8, 7’s fora 1. Isto, adicionado a
1900=quarta-feira, resulta que Doomsday para 1929 é quinta-feira.
Exemplo: em que dia da semana caiu
o nascimento do Marcelo, 4 de Abril de 1979?
Resposta: 79 divididos por 12 dá 6 resto 7; 7 divididos por
4 dá 1. Adicionados estes números, temos 14, 7's fora 0. Assim,
se 1900=quarta-feira, resulta que Doomsday para 1979 é quarta-feira. E
como 4 de Abril é Doomsday, o Marcelo nasceu numa quarta-feira.
Este algoritmo estende-se para os outros séculos, embora sejam necessárias correcções para a mudança do calendário Juliano para Gregoriano em 1752 e ainda para o detalhe de que não houve o ano 0.
Se quiser dominar o Algoritmo de Doomsday, pode consultar a página (em inglês) http://www.interlog.com/~r937/doomsday.html e as outras lá referidas.
Se quiser calcular datas móveis tais como o Carnaval, a Sexta-Feira Santa ou a Páscoa, utilize a calculadora eclesiástica do site da Diocese de Ely (em inglês): http://www.ely.anglican.org/cgi-bin/easter
------------------
Até Março!
Renato Santos
matemati@reniza.com
A
reprodução integral ou parcial desta mensagem para uso comercial é
estritamente proibida sem autorização prévia expressa do autor.
A reprodução para uso pessoal ou educacional é permitida com a citação da
fonte, inclusão do Copyright © 2001 Renato P. dos Santos e aviso ao autor.