Malba Tahan Newsletter
nº3 - Análise Diofantina
Janeiro de 2001
O Alfredo Gaspar propos-me há um bom tempo o seguinte problema:
"Uma pessoa vai comprar um presente e leva 1.200$00.
Quando lhe perguntam quanto custou o presente ela disse:
Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente.
Digo apenas que o preço do presente sendo lido ao contrário é
o valor de 9 presentes.
Questão:
Existe uma fórmula matemática para resolver este problema?"
Não conheço uma "fórmula" para este problema. Mas
conheço um
método para resolvê-lo: a chamada Análise Diofantina. É o método
utilizado para resolver problemas com números inteiros, como
o dos "100 animais" (http://www.reniza.com/matematica/diofantina/100anima.htm).
Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos,
desprezando os centavos, como abcd (isto é, abcd$00), onde a
é 1 ou 0 (para abcd$00 ser menor ou igual a 1.200$00) e b, c
e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do
presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes.
Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta
a notação decimal posicional, isto é, abcd significa a milhares,
b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma
forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim,
1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d)
ou
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d
Resolvendo, temos
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0
ou
991d + 10c -890b -8999a = 0
Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto,
neste caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação.
Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia
seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d.
Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo
das fracções contínuas:
Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente:
10c = 8999a + 890b - 991d
Dividimos toda a equação pelo coeficiente:
c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d
E, separando as partes inteiras das fracções, temos
c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d
ou
c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)
Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a-d) também
terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a-d) for múltiplo
de 10.
Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do
presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d)
só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0.
Fica assim,
9a - d = 0
ou
d = 9a
Retornando este resultado à equação anterior, fica
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a)
ou
c = 899a + 89b - 891a = 8a + 89b
Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos,
resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta
assim,
c = 8a
Lembremos ainda que a é 1 ou 0.
Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o
preço 0000$00 e, correctamente, 9 x 0000$00 = 0000$00
Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior,
d=9a ou d=9.
Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (abcd$00) como
1089$00 que, invertido, resulta 9801$ = 9 x 1089$00, como desejado.
Vê-se, assim, o poder deste método, ao resolver uma equação com
quatro incógnitas.
Pode agora experimentar aplicar este método aos problemas da
secção correspondente no site da Matemática Recreativa (http://www.reniza.com/matematica/diofantina/)
------------------
Até Fevereiro!
Renato Santos
matemati@reniza.com
A
reprodução integral ou parcial desta mensagem para uso comercial é
estritamente proibida sem autorização prévia expressa do autor.
A reprodução para uso pessoal ou educacional é permitida com a citação da
fonte, inclusão do Copyright © 2001 Renato P. dos Santos e aviso ao autor.