Malba Tahan Newsletter
nº1 - O Problema dos Quatro Quatros
Outubro de 2000
Veja como são os novos critérios para avaliação de um exercício de Matemática na Nova Escola: http://www.reniza.com/matematica/avaliacao.htm
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A Adriana Marques, a concluir o curso de Matemática, escreveu-me em Setembro passado:
"gostaria de saber se você possui a resolução do problema dos quatro quatros apresentados na obra o homem que calculava."
Para quem não conhece este problema, que Malba Tahan inclui no seu mais famoso livro, O Homem que Calculava, Record, Rio de Janeiro; The Man Who Counted, Canongate), trata-se de formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos quatro, equivalentes, cada uma, aos números inteiros. Assim, por exemplo,
1 = 44/44 2 = 4/4+4/4 3 = (4+4+4)/4
4 = 4+(4-4)/4 5 = (4x4+4)/4 6 = 4+(4+4)/4
7 = 4+4-4/4 8 = 4+4+4-4 9 = 4+4+4/4
10 = (44-4)/4
Segundo o autor, no seu livro Diabruras da Matemática é apresentado um estudo completo deste problema até o número 100. Infelizmente, este livro está esgotado há muitos anos e não existe nem mesmo na Biblioteca Nacional do Brasil, segundo pesquisa que fiz via Internet recentemente.
Algumas respostas em termos das quatro operações elementares eu já encontrei em alguns sites da Internet:
12 = (44+4)/4 15 =
44/4+4 16 = 4*4+4-4
17 = 4*4+4/4 28 = 4*(4+4)-4
32 = (4*4)+(4*4) 36 = 4*(4+4)+4
43 = 44-4/4 44 = 44-4+4 45 =
44+4/4
60 = 44+4*4 68 = 4*4*4+4 80 = (4*4+4)*4
88 = 44+44
Encontrei também respostas a outros números mas já a utilizar outras operações, tais como a radiciação (que eu represento aqui por V) e a potenciação (que eu represento aqui por ^):
14 = 4*4-4/V4 18 = 4*4+4/V4 22 = 44/4*V4
24 = (V4)^4+4+4 26 = 44/V4+4 30 = 4*(4+4)-V4
34 = 4*(4+4)+V4 38 = 44-4-V4 40 = 4*(4+4+V4)
42 = 44-4/V4 46 = 44+4/V4 48 = 44+(V4)^V4
50 = 44+4+V4 63 = (4^4-4)/4 64 = 4^(4-4/4)
65 = (4^4+4)/4 81 = (4-4/4)^4 86 = 44*V4-V4
90 = 44*V4+V4
Soluções para outros números só encontrei (http://www.gd.com.br/pgmarques/mat-t21.htm ) envolvendo factoriais (!) e termiais (?) (como o factorial mas através da soma dos termos), por exemplo:
11 = 4?+4^(4-4) 13 = 4!-(44/4)
Convido, então, a aceitar o desafio de ajudar a Adriana e procurar expressões para os restantes números. Como este problema é um antigo clássico, creio que valeria à pena procurarmos soluções em termos das operações mais simples possíveis.
Quem sabe algum leitor tenha acesso ao livro Diabruras da
Matemática, nem que seja no espólio do Malba Tahan em Queluz,
e queira nos fornecer as respostas correctas.
Pode enviar suas respostas para o novo Fórum da Matemática Divertida http://www.reniza.com/matematica/bbs/messages/2.html , onde poderá encontrar também as respostas de outros participantes.
Adenda: Parte das respostas estão organizadas no quadro na página do quebra-cabeças.
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Até Novembro!
Renato Santos
matemati@reniza.com
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